Question

已知P为抛物线y²=4x上的任意一点，记点P到直线x=-1的距离为d，对于给定点A（4，5），则|PA|+d的最小值为________．

Answer 1

分析：过P作PB垂直于直线x=-1，垂足为B，根据抛物线的定义得：|PA|+d=|PA|+|PB|=|PA|+|PF|．利用三角形两边之和大于第三边，可得当且仅当P、A、F三点共线时，|PA|+d达到最小值，因此可用两点的距离公式求出|PA|+d的最小值．
解答：过P作PB垂直于直线x=-1，垂足为B
∵抛物线方程为y²=4x，
∴2p=4，得=1，可得焦点F（1，0），且直线x=-1是抛物线的准线，
因此，|PA|+d=|PA|+|PB|=|PA|+|PF|
∵|PA|+|PF|≥|AF|
∴当且仅当P、A、F三点共线时，|PA|+|PF|达到最小值
因此，|PA|+d的最小值为|AF|==
故答案为：
点评：本题给出定点A和抛物线上动点P，求P到A点与P到抛物线准线距离之和的最小值，着重考查了抛物线的几何性质和两点之间的距离公式等知识，属于中档题．