Question

已知函数f(x)=x-alnx+

b

x

在x=1处取得极值，且a＞3
（1）求a与b满足的关系式；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）=a²x²+3，若存在m1，m2∈[

1

2

，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f(x)=x-alnx+

b

x

，
∴f′（x）=1-

a

x

-

b

x2

，
∵f(x)=x-alnx+

b

x

在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，
∴1-a-b=0，即b=1-a．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由（1）可得f′（x）=1-

a

x

-

b

x2

=

x2-ax-(1-a)

x2

=

(x-1)[x-(a-1)]

x2

，
令f′（x）=0，则x₁=1，x₂=a-1．
∵a＞3，x₂＞x₁，当x∈（0，1）∪（a-1，+∞）时，f^′（x）＞0；
当x∈（1，a-1）时，f^′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（a-1，+∞）；单调递减区间为（1，a-1）．
（3）当a＞3时，f（x）在[

1

2

，1）上为增函数，在（1，2]为减函数，
所以f（x）的最大值为f（1）=2-a＜0．
因为函数g（x）在[

1

2

，2]上是单调递增函数，
所以g（x）的最小值为g（

1

2

）=

1

4

a²+3＞0．
所以g（x）＞f（x）在[

1

2

，2]上恒成立．
要使存在m₁，m₂∈[

1

2

，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，只需要g（

1

2

）-f（1）＜9，
即

1

4

a²+3-（2-a）＜9，
所以-8＜a＜4． 
又因为a＞3，所以a的取值范围是（3，4）．