题目内容

已知椭圆 $数学公式$ =1（a＞b＞0）长轴长与短轴长之差是 $数学公式$ ，且右焦点F到此椭圆一个短轴端点的距离为 $数学公式$ ，点C（m，0）是线段OF上的一个动点（O为坐标原点）．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得（ $数学公式$ + $数学公式$ ） $数学公式$ ，并说明理由．

解：（Ⅰ）由题意可知a-b= $\text{[math]}$ -1，又 $\text{[math]}$ ，a²=b²+c²，
解得a= $\text{[math]}$ ，b=c=1，
所以椭圆的方程为： $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）由（1）得F（1，0），所以0≤m≤1，
假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），代入 $\text{[math]}$ ，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ①，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）= $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ =（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（ $\text{[math]}$ -2m， $\text{[math]}$ ），
因为（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ，而AB的方向向量为（1，k），
所以 $\text{[math]}$ -2m+ $\text{[math]}$ ×k=0?（1-2m）k²=m，
所以当0≤m $\text{[math]}$ 时，k=± $\text{[math]}$ ，即存在这样的直线l；
当 $\text{[math]}$ k≤1时，不存在这样的直线l．
分析：（I）由长轴长与短轴长之差为 $\text{[math]}$ ，得2a-2b= $\text{[math]}$ ，由右焦点F到此椭圆一个短轴端点的距离为 $\text{[math]}$ ，可得a值；
（Ⅱ）先由（1）求得m的范围，假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ，得（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =0①，易知AB的方向向量为（1，k），联立直线方程与椭圆方程构成方程组，消掉y得x的二次方程，由韦达定理、向量运算可用k表示 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，代入①式得k的方程，有解则存在，否则即不存在；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生的探究能力，考查学生对问题的分析解决能力，存在性问题常假设存在然后由此出发进行推理．