Question

已知函数f（x）=（x²-a）e^x（e为自然对数的底数），g（x）=f（x）-b，其中曲线f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为-3．
（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设方程g（x）=0有且仅有一个实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，令导函数在x=0处的值为-3，列出方程求出a的值，令导函数大于0求出还是的单调递增区间，令导函数小于0，求出还是的单调递减区间．
（2）利用（1）得到的还是的单调性求出f（x）的极大值、极小值，令b大于极大值或等于极小值得到b的范围．

解答：解：（1）f′（x）=（x²+2x-a）e^x
∴f′（0）=-ae⁰=-a由题意知f′（0）=-3
解得a=3
于是f′（x）=（x+3）（x-1）e^x                          　　　　       
当x＜-3或x＞1时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；                   
当-3＜x＜1时f′（x）＜0，f（x）是减函数；                      
所以f（x）的单调增区间是（-∞，-3），（1，+∞），单调减区间是（-3，1）．
（2）由（1）知，当x=-3时，f（x）有极大值，为f(-3)=(9-3)e-3=

6

e3

；    
当x=时，f（x）有极小值，为f（1）=（1-3）e=-2e．
又e^x＞0当x＜-

3

或x＞

3

 时，f（x）＞0
因为方程g（x）=0有且仅有一个实根，所以b＞

6

e3

或b=-2e．
所以实数b的取值范围是{b|b＞

6

e3

或b=-2e}．

点评：函数在极值点处的函数值为0；函数在切点处的导函数值为曲线的曲线斜率；解决方程根的问题，常分离参数转化为求函数的极值问题解决．