Question

20．设（3x-1）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴．求：
（1）a₃
（2）求a₀+a₁+a₂+a₃+a₄；
（3）求a₀+a₂+a₄；
（4）求各项二项式系数的和．

Answer 1

分析 （1）利用通项公式求出a₃
（2）令x=1得，求a₀+a₁+a₂+a₃+a₄；
（3）令x=-1得，与（2）相加，求a₀+a₂+a₄；
（4）各项二项式系数的和2⁴．

解答 解：（1）a₃=${C}_{4}^{1}•{3}^{3}•（-1）$=-108  …（3分）
（2）令x=1得${a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}={（{3-1}）^4}=16$；…（6分）
（3）令x=-1得${a_0}-{a_1}+{a_2}-{a_3}+{a_4}={（{-3-1}）^4}=256$，
而由（2）知：${a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}={（{3-1}）^4}=16$，
两式相加得a₀+a₂+a₄=136；…（10分）
（4）各项二项式系数的和为$C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4={2^4}=16$．…（14分）

点评 ①要注意二项展开式各项的系数与二项式系数是不同的两个概念；②系数和与二项式系数和不一定相同，本题的（1）与（5）结果相同纯属巧合；③注意求系数和上述是最一般的方法，一定要理解．