Question

已知α，β∈（0，π），sinα=

4

5

，sin（α+β）=

5

13

，则cosβ=

-

16

65

，或

56

65

．

Answer 1

分析：①当α为锐角时，则α+β为钝角，此时，求出cosα 和cos（α+β）的值，利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．②当α为钝角时，则α+β为钝角，此时，求出cosα 和cos（α+β） 的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答：解：∵已知α，β∈（0，π），sinα=

4

5

，sin（α+β）=

5

13

，sinα＞sin（α+β），
∴①当α为锐角时，则α+β为钝角，此时，cosα=

3

5

，cos（α+β）=-

12

13

，
cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β） cosα+sin（α+β） sinα=-

12

13

×

3

5

+

5

13

×

4

5

=-

16

65

．
②当α为钝角时，则α+β为钝角，此时，cosα=-

3

5

，cos（α+β）=-

12

13

，
cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-

12

13

×（-

3

5

）+

5

13

×

4

5

=

56

65

，
故答案为-

16

65

，或

56

65

．

点评：本题主要考查两角和差的余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．