题目内容
已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为的球面上，且满足：
，则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为
- A.2R2
- B.3R2
- C.4R2
- D.R2
A
分析：由已知中三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为的球面上，且满足：，则在P点PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，由基本不等式易得到三棱锥P-ABC的侧面积的最大值．
解答：∵，
∴PA，PB，PC两两垂直，
又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为R的球面上
∴（2R）2=PA2+PB2+PC2，
则由基本不等式可得PA2+PB2≥2PA•PB，PA2+PC2≥2PA•PC，PB2+PC2≥2PB•PC，
即4R2=PA2+PB2+PC2≥PA•PB+PB•PC+PA•PC
则三棱锥P-ABC的侧面积S=
（PA•PB+PB•PC+PA•PC）≤2R2，
则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为2R2，
故选A
点评：本题考查的知识点是棱锥的侧面积，基本不等式，棱柱的外接球，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．
分析：由已知中三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为的球面上，且满足：
，则在P点PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，由基本不等式易得到三棱锥P-ABC的侧面积的最大值．解答：∵
，∴PA，PB，PC两两垂直，
又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为R的球面上
∴（2R）2=PA2+PB2+PC2，
则由基本不等式可得PA2+PB2≥2PA•PB，PA2+PC2≥2PA•PC，PB2+PC2≥2PB•PC，
即4R2=PA2+PB2+PC2≥PA•PB+PB•PC+PA•PC
则三棱锥P-ABC的侧面积S=
（PA•PB+PB•PC+PA•PC）≤2R2，则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为2R2，
故选A
点评：本题考查的知识点是棱锥的侧面积，基本不等式，棱柱的外接球，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．
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