Question

试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知0＜a＜1，则

1

a

+

4

1-a

≥9．

Answer 1

分析法：

1

a

+

4

1-a

≥9?

1+3a

a(1-a)

≥9

0＜a＜1 1+3a≥9a(1-a)?(3a-1)2≥0

反证法：假设

1

a

+

4

1-a

＜9，通分得

1+3a

a(1-a)

＜9．
∵0＜a＜1，∴1+3a＜9a（1-a），整理得（3a-1）²＜0，这与平方数不小于0矛盾．
∴假设不成立，则

1

a

+

4

1-a

≥9．
综合法：由（3a-1）²≥0，变形得1+3a≥9a（1-a）．
∵0＜a＜1，∴

1+3a

a(1-a)

≥9，即

1

a

+

4

1-a

≥9．