Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，其左、右焦点分别是F₁、F₂，点P是坐标平面内的一点，且|OP|=

10

2

，

PF1

•

PF2

=

1

2

（点O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+1交椭圆于不同的两点A，B．若△AOB面积为

3 2

7

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）设P（x₀，y₀），F₁（c，0），F₂（c，0），由|PO|=

10

2

，

PF1

•

PF2

=

1

2

可得x₀，y₀的方程，联立方程可求C，然后由

c

a

=

6

3

可求a，进而可求b，及椭圆方程
（Ⅱ）将y=kx+1代入椭圆方程，整理得（1+3k²）x²+6kx=0&△＞0（*），结合方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，代入弦长公式可得|AB|=

1+k2

|x2-x1|=

1+k2

6|k|

3k2+1

，再求出O到直线的距离d=

1

1+k2

，代入面积公式S△AOB=

1

2

|AB|d=

3|k|

3k2+1

=

3 2

7

可求k，从而可求直线方程

解答：解：（I）设P（x₀，y₀），F₁（c，0），F₂（c，0）
由|PO|=

x02+y02

=

10

2

可得x02+y02=

5

2

由

PF1

•

PF2

=

1

2

可得(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=

1

2

即x02+y02-c2=

1

2

∴c=

2

∵

c

a

=

6

3

∴a²=3，b²=1
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1
（Ⅱ）将y=kx+1代入椭圆方程，整理得（1+3k²）x²+6kx=0
则可得△＞0（*）
∴x1+x2=

-6k

1+3k2

，x1x2=0
∴|AB|=

1+k2

|x2-x1|=

1+k2

6|k|

3k2+1

     
O到直线的距离d=

1

1+k2

∴S△AOB=

1

2

|AB|d=

3|k|

3k2+1

=

3 2

7

∴k=±

2

6

或k=±

2

所求l的方程为y=

2

x+1或y=-

2

x+1或y=

2

6

x+1或y=-

2

6

x+1

点评：本题主要考察 了由椭圆性质求解椭圆方程，直线与椭圆相交关系的应用，方程的根与系数关系、点到直线的距离公式及三角形的面积公式的应用．