Question

如图，四边形ABCD是一个边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，其余部分都是平地，P是弧TS上一点，现有一位开发商想在平地上建造一个两边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR．
（1）若∠PAT=θ，试写出四边形RPQC的面积S关于θ的函数表达式，并写出定义域；
（2）试求停车场的面积最大值．

Answer 1

分析：（1）延长RP交AB于M，设∠PAB=θ（0°＜θ＜90°），则AM=90cosθ，MP=90sinθ，PQ=100-cosθ，PR=100-90sinθ．由S_PQCR=PQ•PR能求出四边形RPQC的面积S关于θ的函数表达式，并能写出定义域．
（2）设t=cosθ+sinθ．由0°≤θ≤90°，知t∈[1，

2

]，cosθsinθ=

t2-2

2

，由此能求出停车场面积的最大值．

解答：解：（1）延长RP交AB于M，设∠PAB=θ（0°＜θ＜90°），
则AM=90cosθ，MP=90sinθ，
PQ=100-cosθ，PR=100-90sinθ．
∴S_PQCR=PQ•PR=（100-90cosθ）（100-90sinθ）
=10000-9000（cosθ+sinθ）+8100cosθsinθ，{θ|0≤θ≤

π

2

}．
（2）设t=cosθ+sinθ，
∵0°≤θ≤90°，
∴t∈[1，

2

]，cosθsinθ=

t2-2

2

SPQCR=10000-9000t+8100×

t2-1

2

=4050(t-

10

9

)2+950．
∴当t=

2

时，S_PQCR有最大值14050-9000

2

．
答：长方形停车场PQCR面积的最大值为14050-9000

2

平方米．

点评：本题考查函数在生产实际中的具体运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分析数量间的相互关系，合理地建立方程．易错点是忽视数学表达式在生产实际中的定义域的范围．