题目内容
如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.
解法一：
（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.
∵AP=BP，
∴PD⊥AB.
∵AC=BC.
∴CD⊥AB.
∵PD∩CD＝D.
∴AB⊥平面PCD.
∵PC
平面PCD，
∴PC⊥AB.
（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC.
又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
且AC∩PC=C，
∴BC⊥平面PAC.
取AP中点E,连结BE,CE.
∵AB＝BP，
∴BE⊥AP.
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=
，
∴sin∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为aresin
解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC.
∴PC⊥BC.
∵AC∩BC=C,
∴PC⊥平面ABC.
∵AB
平面ABC，
∴PC⊥AB.(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.
设P（0，0，t）,
∵｜PB｜=｜AB｜＝2
，
∴t=2,P(0,0,2).
取AP中点E，连结BE，CE.
∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,
∴CE⊥AP,BE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
∵E(0,1,1),
∴cos∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小为arccos
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