Question

如图，在棱长为2的正方体AC₁中，G是AA₁的中点，求BD与平面GB₁D₁的距离.

Answer 1

思路解析：找到合适的点，转化为点到面的距离.

解法一：因为BD∥平面B₁D₁G,所以BD上任意一点到平面B₁D₁G的距离即为所求.

故可求底面中心O到平面B₁D₁G的距离，易证平面A₁ACC₁与平面B₁D₁G垂直，O′G是此两垂直平面的交线，故只要作OH⊥O′G于H，则OH即为所求.

在△O′OG中，由面积关系OH·O′G=2·,而O′G=，

故OH=.

解法二：如果选择求B点到B₁D₁G的距离，由于垂足位置不易确定，所以利用体积关系求距离.设B到平面B₁D₁G的距离为h.

因V_b—B1D1G=V_D1—GBB1,所以S_△B1D1G·h=2×2,而S_△B1D1G=,

所以h=.

方法归纳  求线面距离，关键是选恰当的点，本题解法一直接作出距离，对掌握面面垂直、线面垂直有帮助；解法二较为简洁，利用转化法，省去了作垂线的过程.