Question

在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C所对的边，C=

π

3

．若

OD

=a

OE

+b

OF

，且D、E、F三点共线（该直线不过点O），则△ABC周长的最小值是

3

2

．

Answer 1

分析：因为D、E、F三点共线，结合平面向量基本定理得a+b=1．在△ABC中运用余弦定理，可得c²=1-3ab，结合基本不等式求最值，得c²≥

1

4

，从而得到边c的最小值为

1

2

，由此不难得到△ABC周长的最小值．

解答：解：∵已知

OD

=a

OE

+b

OF

，且D、E、F三点共线，∴a+b=1．
∵△ABC中，角C=

π

3

∴c²=a²+b²-2abcos

π

3

=（a+b）²-3ab=1-3ab
∵ab≤（

a+b

2

）²=

1

4

，
∴1-3ab≥1-

3

4

=

1

4

，得c²≥

1

4

，
当且仅当a=b时，边c的最小值为

1

2

因此，△ABC周长a+b+c的最小值为1+

1

2

=

3

2

故答案为：

3

2

点评：本题给出向量式，在三点共线的情况下求三角形周长的最小值，着重考查了平面向量基本定理、运用基本不等式求最值和余弦定理等知识，属于中档题．