Question

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C₁的离心率为e，直线l与双曲线C₁交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y²=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（　　）

• A．

  e2-1

  2

• B．e²-1
• C．

  e2+1

  2

• D．e²+1

Answer 1

分析：利用抛物线的定义，确定M的坐标，利用点差法将线段AB中点M的坐标代入，即可求得结论．

解答：解：∵M在抛物线y²=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，
∴M的横坐标为

p

2

，∴M（

p

2

，p）
设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1
两式相减，并将线段AB中点M的坐标代入，可得

p(x1-x2)

a2

-

2p(y1-y2)

b2

=0
∴

y1-y2

x1-x2

=

b2

2a2

∴

y1-y2

x1-x2

=

a2-c2

2a2

=

e2-1

2

故选A．

点评：本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．