Question

函数f（x）=cos²x+sinx+1，x∈[-

π

6

，

2π

3

]的值域为

[

5

4

，

9

4

]

．

Answer 1

分析：将函数f（x）变为关于sinx的二次函数，再由二次函数的性质求函数的值域．

解答：解：由题意可得：y=-sin²x+sinx+2=-（sinx-

1

2

）²+

9

4

，
又x∈[-

π

6

，

2π

3

]，sinx∈[-

1

2

，1]
当sinx=

1

2

时，函数f（x）取到最大值为

9

4

，
当sinx=-

1

2

时，函数f（x）取到最小值为

5

4

，
综上函数f（x）的值域是[

5

4

，

9

4

]．
故答案为[

5

4

，

9

4

]．

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，求解本题关键是将函数变为关于sinx的二次函数，由配方法将本方，根据正弦函数的有界性判断出函数的最值，从而得出函数的值域，本题是三角函数求值域的题型中一个很重要的题型，其规律是转化为关于三角函数二次函数，将问题变为二次函数在闭区间上的最值问题．