Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n且-2S_n-a_nS_n+1=0，n=1，2，3…
（1）求a₁，a₂
（2）求S_n与S_n-1（n≥2）的关系式，并证明数列{}是等差数列．
（3）求S₁•S₂•S₃…S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）对已知等式分别取n=1、n=2，解关于a₁、a₂的方程，即可得到a₁，a₂的值．
（2）将a_n=S_n-S_n-1代入已知等式，化简整理得到S_n=，代入并整理得到=-1+，由此即可得到数列{}是以-2为首项，公差等于-1的等差数列．
（3）由（2）结合等差数列的通项公式，可得S_n=，再分别取n=1、2、3、…、2011代入题中的式子，化简即可得到S₁•S₂•S₃•…•S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值
解答：解：（1）∵S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，
∴取n=1，得S₁²-2S₁-a₁S₁+1=0，即a₁²-2a₁-a₁²+1=0，解之得a₁=，
取n=2，得S₂²-2S₂-a₂S₂+1=0，即（+a₂）²-2（+a₂）-a₂（+a_2）+1=0，解之得a₂=
（2）由题设S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，代入上式，化简得S_nS_n-1-2S_n+1=0
∴S_n=，可得S_n-1-1=-1=
∴==-1+
∴数列{}是以=-2为首项，公差d=-1的等差数列．
（3）由（2）得=-2+（n-1）×（-1）=-n-1，
可得S_n=1-=
∴S₁•S₂•S₃•…•S₂₀₁₀•S₂₀₁₁=×××…××=
即S₁•S₂•S₃•…•S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值为．
点评：本题给出数列{a_n}的前n项和S_n与a_n的关系式，求通项公式并证明新的等差数列，着重考查了等差数列的通项公式、数列前n项和S_n与a_n的关系等知识，属于中档题．