题目内容

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调区间并比较f（x）与f（1）的大小关系
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数 $数学公式$ 在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围．

解：（1）当a=-1时， $\text{[math]}$ ，
解f'（x）＞0，得x∈（1，+∞）；解f'（x）＜0得x∈（0，1），
所以，f（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），
可知f（x）_min=f（1），所以f（x）≥f（1）．
（2）∵ $\text{[math]}$ ，函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
∴ $\text{[math]}$ ，得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3，
∴ $\text{[math]}$ ，∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2，∴ $\text{[math]}$ ，
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g'（t）＜0恒成立，
所以有， $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
故m的取值范围为（ $\text{[math]}$ ，-9）．
分析：（1）当a=-1时，求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，可得单调区间，根据最值情况可比较f（x）与f（1）的大小关系；
（2）由函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，可求出a值，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）在区间（t，3）上总不单调，则g（x）在区间（t，3）内总存在极值点，由此可得到关于m的约束条件，解出即可．
点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性以及恒成立问题，考查分析问题解决问题的能力．