题目内容
（本小题满分12分）
如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆
与椭圆
相似，且椭圆的一个短轴端点是抛物线
的焦点.
（Ⅰ）试求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆
的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线
与椭圆交于
两点，且与椭圆交于
两点.若线段
与线段
的中点重合，试判断椭圆与椭圆是否为相似椭圆？并证明你的判断.
（Ⅰ）
.（Ⅱ）椭圆与椭圆是相似椭圆. 证明见解析。
解析试题分析：（Ⅰ）椭圆的离心率为
， 抛物线的焦点为
.
设椭圆的方程为
，由题意，得： 
，解得
，
∴椭圆的标准方程为 . ………………………………4分
（Ⅱ）解法一：椭圆与椭圆是相似椭圆. ………………………………5分
联立和
的方程，
，消去
，得
， ……6分
设的横坐标分别为
，则
.
设椭圆的方程为
， …………………………………7分
联立方程组
，消去，得
,
设的横坐标分别为
，则
.
∵弦的中点与弦的中点重合，∴
，
，
∵
，∴化简得
， ……………………………10分
求得椭圆的离心率
， ………………………12分
∴椭圆与椭圆是相似椭圆.
解法二：（参照解法1评分）
设椭圆的方程为
，
.
∵在椭圆上，∴
且
，两式相减并恒等变形得
.
由在椭圆上，仿前述方法可得
.
∵弦的中点与弦的中点重合，
∴，求得椭圆的离心率， 即椭圆与椭圆是相似椭圆.
考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系。
点评：综合题，判断椭圆与椭圆是否为相似椭圆，主要是要把握好“如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似”这一定义，“点差法”是常用方法．
练习册系列答案
相关题目
的中心为直角坐标系
的原点，焦点在
轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1
为椭圆
为过
（e为椭圆C的离心率），求点
经过定点
，且与直线
相切。
方程；
过定点
与曲线
、
两点：
，求直线
始终在以
为直径的圆内，求
的取值范围。
的焦点，M的离心率
，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线
，交M于A，B两点。
，求实数t的取值范围。
，并经过点
，求此双曲线的标准方程．
的左、右顶点分别为
，点M是椭圆上异于
的斜率分别为
，求证
为定值并求出此定值；
的左、右顶点分别为
的双曲线的方程．
的上顶点为A，左顶点为B, F为右焦点, 过F作平行于AB的直线交椭圆于C、D两点. 作平行四边形OCED, E恰在椭圆上。
, 求椭圆的方程.
及直线
，当直线和椭圆有公共点时.
的取值范围；
的方程.