Question

已知AB=2，AD=2

2

，PA=2，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，由此能求出三角形PCD的面积．
（2）取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角，由此能求出异面直线BC与AE所成的角的大小．

解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，
从而CD⊥PD，
∵PD=

22+(2 2 )2

=2

3

，CD=2，
∴三角形PCD的面积为

1

2

×2×2

3

=2

3

．…（6分）
（2）取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，
∴∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角，
在△AEF中，∵EF=

2

，AF=

2

，AE=2，
∴△AEF是等腰直角三角形，
所以∠AEF=

π

4

．…（6分）

点评：本题考查三角形面积的求法，考查异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，注意合理地化空问题为平面问题．