题目内容
如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．
（I）求证：EF⊥PD；
（Ⅱ）求三棱锥D-PEF的体积．
证明：（Ⅰ）连接BD，在△ABC中，∠ABC=90°，
∵AB=BC，点D为AC的中点，
∴BD⊥AC…2′
又PB⊥平面ABC，而AC?平面ABC，
∴PB⊥AC，又因为BD，PB?平面PBD且BD∩PB=B，
∴AC⊥平面PBD…4′
又∵PD?平面PBD，
∴AC⊥PD，
∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC，
∴EF⊥PD…6′
（Ⅱ）解：由题有，PB⊥平面DEF，又∠PAB=45°，故PB=2…8′
而VD-PEF=VP-DEF…10′
∵四边形BEDF为正方形，|BE|=|ED|=1，
∴VP-DEF=
•S△DEF•|PB|=×
=
∴VD-PEF=…12′
分析：（Ⅰ）连接BD，由题意可证明BD⊥AC，从而有AC⊥平面PBD，继而得AC⊥PD，而EF∥AC，问题得证；
（Ⅱ）三棱锥D-PEF的体积VD-PEF转化为求VP-DEF即可．
点评：本题考查直线与平面垂直的性质，着重考查线面垂直的性质定理的应用及轮换顶点的体积公式的应用，属于中档题．
∵AB=BC，点D为AC的中点，
∴BD⊥AC…2′
又PB⊥平面ABC，而AC?平面ABC，
∴PB⊥AC，又因为BD，PB?平面PBD且BD∩PB=B，
∴AC⊥平面PBD…4′
又∵PD?平面PBD，
∴AC⊥PD，
∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC，
∴EF⊥PD…6′
（Ⅱ）解：由题有，PB⊥平面DEF，又∠PAB=45°，故PB=2…8′
而VD-PEF=VP-DEF…10′
∵四边形BEDF为正方形，|BE|=|ED|=1，
∴VP-DEF=
•S△DEF•|PB|=×=∴VD-PEF=
…12′分析：（Ⅰ）连接BD，由题意可证明BD⊥AC，从而有AC⊥平面PBD，继而得AC⊥PD，而EF∥AC，问题得证；
（Ⅱ）三棱锥D-PEF的体积VD-PEF转化为求VP-DEF即可．
点评：本题考查直线与平面垂直的性质，着重考查线面垂直的性质定理的应用及轮换顶点的体积公式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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