Question

已知函数f（x）=

1

2

m(x-1)2-2x+3+lnx．
（Ⅰ）设m∈R，讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）设m＞0，曲线C：y=f（x）在点（1，1）处的切线l与C有且仅有一个公共点，求实数m的值．

Answer 1

分析：（I）根据原函数的解析式，求出导函数的解析式，并分m=0，m＞0和m＜0三种情况分别讨论导函数的符号，进而可分析出函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）当x=1时，曲线C：y=f（x）在点（1，1）处的切线l的斜率k=f'（1）=-1，此时切线方程为y=-x+2，若曲线C：y=f（x）在点（1，1）处的切线l与C有且仅有一个公共点，则联立直线与曲线方程所得的方程组有且只有一个解，进而可得实数m的值．

解答：解：（I）函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数f'（x）=m（x-1）-2+

1

x

=

mx2-mx-2x+1

x

=

mx2-(m+2)x+1

x

若m=0，则f'（x）=

1-2x

x

，此时由f'（x）＞0得0＜x＜

1

2

，函数单调递增．
由f'（x）＜0，得x＞

1

2

，此时函数单调递减．
①若m≠0，则设g（x）=mx²+（m+2）x+1，
则判别式△=（m+2）²-4m=m²+4＞0，
所以g（x）=0 有两个不同的实根.x=

m+2± m2+4

2m

②若m＞0，
则由f'（x）＞0，得x＞

m+2+ m2+4

2m

或0＜x＜

m+2- m2+4

2m

，此时函数单调递增．
由f'（x）＜0，得

m+2- m2+4

2m

＜x＜

m+2+ m2+4

2m

，此时函数单调递减．
③若m＜0，
则由f'（x）＞0，得0＜x＜

m+2+ m2+4

2m

，此时函数单调递增．
由f'（x）＜0，得x＞

m+2+ m2+4

2m

，此时函数单调递减．
（2）f'（x）=mx-m-2+

1

x

，得f'（1）=-1，
∴在点P（1，1）处的切线方程为y=-x+2，
∵曲线C：y=f（x）在点（1，1）处的切线l与C有且仅有一个公共点，
即-x+2=f（x），
即

1

2

m(x-1)2-x+2+lnx=0有且只有一个实数根，
设g（x）=

1

2

m(x-1)2-x+2+lnx，（x＞0）．
g'（x）=

mx2-(m+1)x+1

x

=

(x-1)(mx-1)

x

，
①若m=1，g'（x）=

(x-1)(x-1)

x

≥0，
g（x）为增函数，且g（1）=0，故m=1符号条件．
②若m＞1，由g'（x）=

(x-1)(mx-1)

x

＞0，
解得x＞1或0＜x＜

1

m

，此时函数g（x）单调递增，
由g'（x）＜0，解得

1

m

＜x＜1，此时单调递减，
又g（1）=0，当x→0时，g（x）→-∞，此时曲线g（x）与x轴有两个交点，故m＞1，不成立．
③若0＜m＜1时，由g'（x）=

(x-1)(mx-1)

x

＞0，
解得x＞

1

m

或0＜x＜1，此时函数g（x）单调递增，
由g'（x）＜0，解得1＜x＜

1

m

，此时单调递减，
又g（1）=0，当x→0时，g（x）→+∞，此时曲线g（x）与x轴有两个交点，故0＜m＜1不成立．
综上：m=1．

点评：本题主要考查利用导数研究函数单调性，综合性较强，运算量较大．