Question

已知函数f(x)=

1-a

x

-ax+ln

x

(a∈R)
（1）当a=0时，求f（x）在x=

1

2

处切线的斜率；
（2）当0≤a≤

1

2

时，讨论f（x）的单调性；
（3）设g（x）=x²-2bx+3当a=

1

4

时，若对于任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，令x=

1

2

，即可求得切线的斜率；
（2）分类讨论，利用导数的正负，即可得到函数的单调区间；
（3）原命题等价于g（x）在x∈[1，2]的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值

1

2

，由此可求实数b的取值范围．

解答：解：（1）∵a=0，∴f(x)=

1

x

+lnx，
∴f′(x)=-

1

x2

+

1

x

则f（x）在x=

1

2

处切线的斜率k=f′(

1

2

)=-2…（4分）
（2）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），f′(x)=-

ax2-x+1-a

x2

 ①当a=0时，f′(x)=-

1

x2

+

1

x

，令f'（x）=0，解得x=1，
∴x∈（0，1），f'（x）＜0；x∈（1，+∞），f'（x）＞0
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）…（6分）
 ②当0＜a＜

1

2

时，f′(x)=-

ax2-x+1-a

x2

=0，解得x₁=1或x2=

1

a

-1且x₁＜x₂
列表

x	（0，1）	1	（1， 1 a -1）	1 a -1	（ 1 a -1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	极小值	↑	极大值	↓

由表可知函数f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为(1，

1

a

-1)，单调递减区间为(

1

a

-1，+∞)；
③当a=

1

2

时，f′(x)=-

(x-1)2

2x2

≤0，∴函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．…（10分）
（3）a=

1

4

∈(0，

1

2

)，f′(x)=-

(x-1)(x-3)

4x2

=0，解得x₁=1或x₂=3
∵x∈（0，2），∴f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，2），
∴f（x）的最小值为f(1)=

1

2

原命题等价于g（x）在x∈[1，2]的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值

1

2

，
又g（x）=x²-2bx+3x∈[1，2]
①当b＜1时，g（x）的最小值为g（1）=4-2b＞2，不合；
②当b∈[1，2]时，g（x）的最小值为g(b)=3-b2≤

1

2

，解得

10

2

≤b≤2；
③当b∈（2，+∞）时，g（x）的最小值为g(2)=7-4b≤

1

2

，解得b＞2，
综上，b的取值范围[

10

2

，+∞)． …（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查切线的斜率，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．