Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx(a、b是常数且a≠0)满足条件:f(2)=0且方程f(x)=x有等根.?

(1)求f(x)的解析式;?

(2)问是否存在实数m、n(m＜n),使f(x)的定义域和值域分别为［m,n］和［2m,2n］?如果存在,求出m、n的值;如不存在,请说明理由.

Answer 1

解析：（1）由题意，方程ax²+(b-1)x=0有等根，?

∴(b-1)²=0,即b=1.?

又f(2)=0,∴4a+2b=0.?

∴a=-.∴f(x)=- x²+x.?

（2）∵f(x)=-  (x-1)²+≤,

∴2n≤,即n≤.?

而抛物线y=- (x-1)²+的对称轴方程为x=1,?

∴当n≤时，f(x)在［m,n］上为增函数.

设m、n存在，则即

又m＜n≤，?

∴m=-2,n=0,?

即存在实数m=-2，n=0，使f(x)的定义域为［-2，0］，值域为［-4，0］.