Question

已知函数f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)-2cos2x，x∈[-

π

6

，

π

2

]
（1）化简函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的最大值及相应的自变量x的取值．

Answer 1

分析：（1）把函数解析式的第一、二项利用两角和与差的正弦函数公式化简，第三项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数即可；
（2）由x的范围，求出（1）中化简后解析式中正弦函数角的范围，根据正弦函数的图象与性质求出正弦函数的值域，即可得到函数f（x）的最大值及此时自变量x的取值．

解答：解：（1）f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-cos2x-1
=

3

sin2x-cos2x-1=2sin(2x-

π

6

)-1；
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

5π

6

]，
∴sin(2x-

π

6

)∈[-1，1]，
则当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，函数f（x）有最大值1．

点评：此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域及值域，以及特殊角的三角函数值，其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．