Question

已知函数f(x)=

(a-2)x，x≥2，  ( 1 2 )x-1， x＜2

满足对任意的实数x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A．（-∞，2）
• B．(-∞，

  13

  8

  ]
• C．（-∞，2]
• D．[

  13

  8

  ，2)

Answer 1

分析：根据题意，分段函数f（x）是定义在R上的减函数．因为当x＜2时，f（x）=（

1

2

）^x-1是减函数，所以当x≥2时，函数f（x）=（a-2）x也为减函数，可得a＜2．同时还需满足：在x=2处，指数式的取值大于或等于一次式的取值，解之得a≤

13

8

，最后综合可得实数a的取值范围．

解答：解：∵对任意的实数x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0成立，
∴当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂），可得函数f（x）是定义在R上的减函数
因此，①当x≥2时，函数f（x）=（a-2）x为一次函数且为减函数，有a＜2…（*）；
②当x＜2时，f（x）=（

1

2

）^x-1也是减函数．
同时，还需满足：2（a-2）≤（

1

2

）²-1，解之得a≤

13

8

，再结合（*）可得实数a的取值范围是：(-∞，

13

8

]
故选B

点评：本题以分段函数为例，在已知函数的单调性的情况下求参数的取值范围，着重考查了函数的单调性的判断与证明的知识，属于中档题．