Question

设M,N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于E(如下图).现将△ADE沿DE折起,使二面角A—DE—B为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M,N的连线与AE所成角的大小等于___________.

Answer 1

解法1：折叠后图形如下图所示.

易知∠AEB=45°，∠ABE=90°，∴AB=BE.

取AE中点Q，连结MQ、BQ.

∵MQDE,DEBC,N为BC中点,∴MQBN.∴BQ∥MN.

∵BQ⊥AE,∴MN⊥AE,

即M、N连线与AE成90°角.

解法2：如下图所示，设EB=a,易知∠AEB=45°，∴AB=EB=a,AE=a.取DE中点F，则

MF= AE=a,FN=BE=a,∠MFN=∠AEB=45°

∴在△MFN中，由余弦定理得MN=a.

∴MN²+FM²=FN².∴MN⊥MF,即MN与MF成90°角.

又MF∥AE，∴MN与AE成角为90°

答案:90°