Question

【题目】已知点到点的距离比它到直线距离小

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点作互相垂直的两条直线，它们与（Ⅰ）中轨迹分别交于点及点，且分别是线段的中点，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36

【解析】

（Ⅰ）可知点到点的距离与到直线距离相等，根据抛物线定义可得方程；（Ⅱ）设直线，与抛物线方程联立后利用韦达定理和中点坐标公式可求得点坐标，同理可求得点坐标；从而用表示出，根据两条直线互相垂直得到，代入三角形面积公式，利用基本不等式可求得面积的最小值.

（Ⅰ）由题意知，点到点的距离与到直线距离相等

由抛物线的定义知，轨迹是以为焦点，以直线为准线的物线

的轨迹的方程为：

（Ⅱ）设直线

联立得：

设，

则，

设直线.同理可得：

，，易知直线的斜率存在且均不为

，即：

当且仅当时取等号

面积的最小值为