Question

5．已知复数z₁=（m²-m-2）+（m²-2m）i（i是虚数单位）是纯虚数．
（1）求实数m的值；
（2）若z₂²=z₁，求复数z₂．

Answer 1

分析 （1）根据纯虚数的定义即可求实数m的值；
（2）若z₂²=z₁，进行复数运算结合复数相等即可求复数z₂．

解答 解：（1）∵复数为纯虚数，
∴m²-m-2=0且m²-2m≠0，
即m=2或m=-1且m≠0且m≠2，
解得m=-1；
（2）∵m=-1，∴z₁=3i，
若z₂²=z₁=3i，
设z₂=a+bi，
则a²-b²+2abi=3i，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=0}\\{2ab=3}\end{array}\right.$，
若a=b，则2a²=3，解得a=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，则b=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
若a=-b，则-2a²=3，此时方程无解．
则复数z₂=$\frac{\sqrt{6}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$i或z₂=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$i．

点评 本题主要考查复数的有关概念以及复数的基本运算，利用复数相等是解决本题的关键．