Question

2．已知△ABC的外接圆的半径为2，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且A=$\frac{π}{3}$．
（1）若b=2$\sqrt{2}$，求角C的大小；
（2）若c=2，求边b的长与△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理列出关系式，将外接圆半径与sinA的值代入求出a的值，解得sinB，由大边对大角即可求B，结合三角形内角和定理即可求C的值．
（2）利用正弦定理可求sinC，结合已知可求C，B，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵△ABC外接圆半径是2，∠A=$\frac{π}{3}$，
∴由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R，即a=2RsinA=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
则b=2$\sqrt{2}$=2RsinB=4sinB，解得：sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由b＜a，可得B为锐角，解得B=$\frac{π}{4}$，
则C=π-A-B=$\frac{5π}{12}$．
（2）∵c=4sinC=2，解得：sinC=$\frac{1}{2}$，解得C=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$（舍去），
∴B=π-A-C=$\frac{π}{2}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}$ac=$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了正弦定理，三角形面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．