题目内容
（本小题满分14分）已知椭圆
：
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．
⑴求椭圆C的方程；
⑵设
，
、
是椭圆上关于
轴对称的任意两个不同的点，连结
交椭圆于另一点
，求直线的斜率的取值范围；
⑶在⑵的条件下，证明直线
与轴相交于定点．
：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．⑴求椭圆C的方程；
⑵设
，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线
与轴相交于定点．解：⑴由题意知
，所以
，即
，又因为
，所以
，故椭圆的方程为：
．
⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为
①
联立
消去
得：
，
由
得
，
又
不合题意，
所以直线的斜率的取值范围是
或
．
⑶设点
，则
，直线的方程为
，
令
，得
，将
代入整理，得
． ②由得①
代入②整理，得
，
所以直线与轴相交于定点
．
，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：．⑵由题意知直线
的斜率存在，设直线的方程为 ①联立
消去得：，由
得，又
不合题意，所以直线
的斜率的取值范围是或．⑶设点
，则，直线的方程为，令
，得，将代入整理，得． ②由得①代入②整理，得，所以直线
与轴相交于定点．略
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（
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，
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D 
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＋
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.
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