Question

设a∈R，函数f（x）=

e-x

2

（ax²+a+1），其中e是自然对数的底数．
（1）判断f（x）在R上的单调性；
（2）当-1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导然后整理成f′（x）=

1

2

e^-x（-ax²+2ax-a-1）的形式，因为

1

2

e^-x＞0，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减通过讨论函数g（x）=-ax²+2ax-a-1值的情况来确定原函数的单调性．
（2）先根据a的范围确定导函数等于0的两根的范围，进而可判断函数在区间[1，2]上的单调性，最后可得到最小值．

解答：解：（1）由已知f′（x）=-

1

2

e^-x（ax²+a+1）+

1

2

e^-x•2ax
=

1

2

e^-x（-ax²+2ax-a-1）．
因为

1

2

e^-x＞0，以下讨论函数g（x）=-ax²+2ax-a-1值的情况：
当a=0时，g（x）=-1＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．
当a＞0时，g（x）=0的判别式△=4a²-4（a²+a）=-4a＜0，所以g（x）＜0，
即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．
当a＜0时，g（x）=0有两个根x_1，2=

a± -a

a

，并且

a+ -a

a

＜

a- -a

a

，
所以在区间（-∞，

a+ -a

a

）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数；
在区间（

a+ -a

a

，

a- -a

a

）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在此区间上是减函数．
在区间（

a- -a

a

，+∞）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数．
综上，当a≥0时，f（x）在R上是减函数；
当a＜0时，f（x）在（-∞，

a+ -a

a

）上单调递增，在（

a+ -a

a

，

a- -a

a

）上单调递减，
在（

a- -a

a

，+∞）上单调递增．
（2）当-1＜a＜0时，

a+ -a

a

=1+

-a

a

＜1，

a- -a

a

=1+

1

-a

＞2，
所以在区间[1，2]上，函数f（x）单调递减．
所以函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）=

5a+1

2e2

．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、函数的最值问题．函数的最值和函数的单调性有紧密联系．判断较复杂函数的单调性，利用导函数的符号是基本方法．