Question

（2011•通州区一模）锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，已知sin(B+C)=cos(C-B)=

4

5

，且b＜c．
（I） 求cosA的值；
（II）试用B+C与C-B表示出B，并求内角B的度数；
（III）若b=5，求a边的长和△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的内角和及同角三角函数的关系，即可求cosA的值；
（II）根据2B=（B+C）-（C-B），利用差角的正弦公式，可求B；
（III）利用正弦定理，可求a边的长；求出sinC，利用三角形的面积公式，可求△ABC的面积．

解答：解：（I）由题意，sinA=sin[180°-（B+C）]=sin（B+C）=

4

5

，
∵A为锐角，
∴cosA=

1-sin2A

=

3

5

；
（II）∵2B=（B+C）-（C-B）
∴sin2B=sin[（B+C）-（C-B）]=sin（B+C）cos（C-B）-cos（B+C）sin（C-B）=

16

25

+

3

5

•

3

5

=1
∴B=45°
（III）∵

a

sinA

=

b

sinB

，∴a=

bsinA

sinB

=

5• 4 5

2 2

=4

2

∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

4

5

•

2

2

+

3

5

•

2

2

=

7 2

10

，b=5
∴S=

1

2

absinC=

1

2

×4

2

×5×

7 2

10

=14

点评：本题考查同角三角函数的关系，考查正弦定理的运用，考查三角形的面积公式，属于中档题．