题目内容
（2010•江西模拟）设数列{an}为等差数列，an＜an+1且前6项的平方和为70，立方和为0．
（1）求{an}的通项公式；
（2）在平面直角坐标系内，直线ln的斜率为an，且与曲线y=x2相切，与y轴交于Bn，记bn=|Bn+1Bn|，求bn；
（3）对于（2）问中数列{bn}求证：|sinb1+sinb2+…+sinbn|＜
．
（1）求{an}的通项公式；
（2）在平面直角坐标系内，直线ln的斜率为an，且与曲线y=x2相切，与y轴交于Bn，记bn=|Bn+1Bn|，求bn；
（3）对于（2）问中数列{bn}求证：|sinb1+sinb2+…+sinbn|＜
| ||
| 2 |
分析：（1）依题意有
，由于{an}为等差数列，得到：a1+a6=a2+a5=a3+a4化简得到：
解得首项和公差，从而得出{an}的通项公式；
（2）设ln的方程为y=anx+m，将直线的方程代入圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合直线与曲线相切即可求得m=
，从而求得求bn解决问题．
（3）先利用|sinb1+sinb2+…+sinbn|=|
sinbnsin1|•
=
=
，再结合三角函数的性质即可证得结论．
|
|
解得首项和公差，从而得出{an}的通项公式；
（2）设ln的方程为y=anx+m，将直线的方程代入圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合直线与曲线相切即可求得m=
| an2 |
| 4 |
（3）先利用|sinb1+sinb2+…+sinbn|=|
| n |
 |
| k=1 |
| 1 |
| sin1 |
|-
| |||||
| 2sin1 |
| |cos(2n-5)-cos5| |
| 2sin1 |
解答：解：（1）依题意有
∵{an}为等差数列，∴a1+a6=a2+a5=a3+a4
若a1+a6＞0，则a13+a63=（a1+a6）（a12+a1a6+a62）＞0
∴a13+a23+…+a63＞0同理，若a1+a6＜0，则a13+a23+…+a63＜0
∴a1+a6=a2+a5=a3+a4=0⇒a12+a22+…+a62=2（a12+a22+a32）=70
设{an}的公差为d，an＜an+1
∴d＞0
得
∴an=2n-7
（2）设ln的方程为y=anx+m由
得x2-anx-m=0
∵直线与曲线相切∴△=0⇒m=
∴Bn(0，-
)；bn=|Bn+1Bn|=-
-(-
)=
=2n-6
（3）|sinb1+sinb2+…+sinbn|=|
sinbnsin1|•
=
=
∵cos5＞0，
∴bn＜
=
＜sin1＜
∴|sinb1+sinb2+…+sinbn|＜
|
∵{an}为等差数列，∴a1+a6=a2+a5=a3+a4
若a1+a6＞0，则a13+a63=（a1+a6）（a12+a1a6+a62）＞0
∴a13+a23+…+a63＞0同理，若a1+a6＜0，则a13+a23+…+a63＜0
∴a1+a6=a2+a5=a3+a4=0⇒a12+a22+…+a62=2（a12+a22+a32）=70
设{an}的公差为d，an＜an+1
∴d＞0
|
得
|
（2）设ln的方程为y=anx+m由
|
∵直线与曲线相切∴△=0⇒m=
| an2 |
| 4 |
∴Bn(0，-
| an2 |
| 4 |
| an2 |
| 4 |
| an+12 |
| 4 |
| (2n-5)2-(2n-7)2 |
| 4 |
（3）|sinb1+sinb2+…+sinbn|=|
| n |
|
| k=1 |
| 1 |
| sin1 |
=
|-
| |||||
| 2sin1 |
=
| |cos(2n-5)-cos5| |
| 2sin1 |
∵cos5＞0，
∴bn＜
| 1+cos5 |
| 2sin1 |
sin2(
| ||
| sin1 |
| ||
| 2 |
∴|sinb1+sinb2+…+sinbn|＜
| 3 |
| 2 |
点评：本小题主要考查等差数列的通项公式、数列与不等式的综合、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
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