Question

三棱锥P—ABC中，侧棱PA⊥底面ABC，H是A在平面PBC上的射影.

（1）若H是△PBC的重心，则在此三棱锥的棱所在的直线中与AC垂直的直线有几条？

（2）若H是△PBC的重心，且△ABC是边长为2的正三角形，求二面角P—BC—A的大小.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）充分利用线线垂直与线面垂直的相互关系进行挖掘与探求； （2）二面角问题关键是“作”“证”“算”，本题关键要利用重心性质及方程思想进行求解. （1）PA⊥平面ABC，AC平面ABC，∴PA⊥AC，AH⊥平面PBC，CH⊥PB. ∴AC⊥PB.∴AC⊥平面ABC. 又AB平面PAB，∴AC⊥AB. 故与AC垂直的直线有PA、PB、AB三条. （2）若H是重心，连结PH交BC于D，可设PH＝2x，HD＝x. 由AB＝2，可知AD＝，于是有（）2＝x·（2x＋x），则x＝1. ∴PD＝3.又D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴PD⊥BC. ∴∠PDA是二面角P—BC—A的平面角. 由cosPDA＝，得∠PDA＝arccos即为所求.