Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2-a_n（n∈N⁺）
（Ⅰ）求a_n的通项公式；
（Ⅱ）定义f(k)=

20

i=1

aiai+k-1（这里规定a₂₁=a₁，a₂₂=a₂，…，a₃₉=a₁₉），k=1，2，3，…，20，求f（k）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由S_n=2-a_n得S_n-1=2-a_n-1，两式作差可求递推关系an=

1

2

an-1，得数列{a_n}为等比数列，进而求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先写出f（k）的表达式，再利用等比数列的求和公式求出其结果，最后利用函数的单调性求其最小值．

解答：解：（Ⅰ）因为S_n=2-a_n（n∈N⁺），所以a₁=1，
当n≥2时，S_n-1=2-a_n-1，所以a_n=-a_n+a_n-1，
即an=

1

2

an-1．
所以an=(

1

2

)n-1（4分）
（Ⅱ）由题设得，f（k）=a₁a_1+k-1+a₂a_2+k-1+…+a_21-ka₂₀+a_22-ka₁+…+a₂₀a_k-1（6分）
=

1

2k-1

+

1

2k+1

+…+

1

239-k

+

1

221-k

+…+

1

2k+17

=

4(220-1)

3•241

(2k+

222

2k

)（10分）
由函数g(x)=x+

222

x

的性质可知，当k=11时，f（k）取到最小值

4(220-1)

3•219

．（14分）

点评：本题主要考查数列的递推关系式以及等比数列求和公式的应用．是对数列知识的综合考查．本题的难点在与对第二问的f（k）的表达式的整理．