Question

已知点在椭圆:上，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的右焦点，且，其中为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若, 求直线的方程;
（3）作直线与椭圆:交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值.

Answer 1

（1）. (2) 或； （3）或.

试题分析：（1）由题意知,在中, 可得.
设为圆的半径,为椭圆的半焦距
由建立方程组，,解得:.
根据点在椭圆上,有结合,解得.
(2)由题意知直线的斜率存在,故设直线方程为
设,利用 ,求得代人椭圆方程求 .
（3）根据: , 设.
根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为
把它代入椭圆的方程,消去,整理得:
由韦达定理得,则,
所以线段的中点坐标为
注意讨论，的情况，确定的表达式，求得实数的值.
方法比较明确，运算繁琐些；分类讨论是易错之处.
试题解析：（1）由题意知,在中,
由得:
设为圆的半径,为椭圆的半焦距
因为所以
又,解得:,则点的坐标为      2分
因为点在椭圆：上,所以有
又,解得:
所求椭圆的方程为.        4分
(2)由(1)知椭圆的方程为 
由题意知直线的斜率存在,故设其斜率为,
则其方程为
设,由于,所以有
         7分
又是椭圆上的一点,则
解得
所以直线的方程为或         9分
（3）由题意知: :
由, 设
根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为
把它代入椭圆的方程,消去,整理得:
由韦达定理得,则,
所以线段的中点坐标为
(1)当时, 则有,线段垂直平分线为轴
于是
由,解得:         11分
(2) 当时, 则线段垂直平分线的方程为
因为点是线段垂直平分线的一点
令,得:
于是
由,解得:
代入,解得:
综上, 满足条件的实数的值为或.        14分