Question

14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a²+c²-b²=$\frac{6}{5}$ac．
（1）求2sin²$\frac{A+C}{2}$+sin2B的值．
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理化简已知可得cosB=$\frac{3}{5}$，结合范围0＜B＜π，解得sinB，利用三角函数恒等变换的应用即可得解．
（2）由题意可得a²+c²=$\frac{6}{5}$ac+4，由基本不等式得a²+c²=$\frac{6}{5}$ac+4≥2ac，解得：ac≤5，即可求得△ABC面积的最大值为2．

解答 解：（1）∵a²+c²-b²=$\frac{6}{5}$ac，又由余弦定理可得：a²+c²-b²=2accosB，
∴$\frac{6}{5}$ac=2accosB，解得：cosB=$\frac{3}{5}$，
∵0＜B＜π，解得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$．
∴2sin²$\frac{A+C}{2}$+sin2B=1-cos（A+C）+sin2B=1+cosB+2sinBcosB=1$+\frac{3}{5}+2×\frac{4}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{64}{25}$．
（2）∵b=2，a²+c²-b²=$\frac{6}{5}$ac．
∴a²+c²=$\frac{6}{5}$ac+4．
∴a²+c²=$\frac{6}{5}$ac+4≥2ac，解得：ac≤5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}×5×\frac{4}{5}$=2．
故△ABC面积的最大值为2．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，基本不等式的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题．