Question

函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且x∈（-1，0）时，f（x）=2^x，则f（log₂10）=

 

．

Answer 1

分析：f（x+1）=-f（x）⇒函数f（x）是以2为周期的函数，利用log₂10∈（3，4）⇒（log₂10-4）∈（-1，0），利用已知x∈（-1，0）时，f（x）=2^x，即可求得答案．

解答：解：∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴函数f（x）是以2为周期的函数，
又3＜log₂10＜log₂16=4，
∴-1＜log₂10-4＜1，
∵x∈（-1，0）时，f（x）=2^x，函数f（x）是以2为周期的函数，
∴f（log₂10）=f（log₂10-4）=2log210-4=

2log210

24

=

10

16

=

5

8

．
故答案为：

5

8

．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的周期性与对数函数性质的灵活应用，属于中档题．