Question

已知函数f（x）=2x³+ax²+bx+3在x=-1和x=2处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）极值．

Answer 1

分析：（1）根据极值点导数为0，可构造关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值；
（2）根据（1）中结论，分析出函数的单调性，求出函数的解析式，代入可得极值

解答：解：（1）∵f'（x）=6x²+2ax+b
由已知有

f′(-1)=0 f′(2)=0

，即 

6-2a+b=0 24+4a+b=0

…（3分）
解得a=-3，b=-12…（5分）
（2）f（x）的极值只可能在-1和2处取得
f'（x）=6x²-6x-12=6（x-2）（x+1）
故f在（-∞-1）和（2+∞）上为增函数，在（-1  2）为减函数
故f在-1取极大值和2上取极小值
f（-1）=10
f（2）=-17

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，其中根据极值点导函数为0，构造出方程组是解答的关键．