题目内容

已知函数f（x）=[cos（x- $数学公式$ ）+sin（ $数学公式$ ）]•2cos（2π-x）．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将f（x）按向量 $数学公式$ 平移后图象关于原点对称，求当| $数学公式$ |最小时的 $数学公式$ ．

解：（1）函数f（x）=[cos（x- $\text{[math]}$ ）+siin（ $\text{[math]}$ ）]•2cos（2π-x）=（sinx-cosx ）•2cosx
=sin2x-cos2x-1= $\text{[math]}$ sin（2x- $\text{[math]}$ ）-1．
故函数的最小正周期为 $\text{[math]}$ =π．
令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，故函数的增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]．
（2）设 $\text{[math]}$ =（a，b），将f（x）按向量 $\text{[math]}$ 平移后，所得函数的解析式为 y= $\text{[math]}$ sin[2（x-a）- $\text{[math]}$ ）+b-1，
图象关于原点对称，故所得函数是奇函数，故有-2a- $\text{[math]}$ =kπ，k∈z，且b-1=0．
当| $\text{[math]}$ |最小时，a= $\text{[math]}$ ，b=1．此时， $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ，1）．
分析：（1）利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为 $\text{[math]}$ sin（2x- $\text{[math]}$ ）-1，由此求得它的最小正周期的值以及单调增区间．
（2）设 $\text{[math]}$ =（a，b），f（x）按向量 $\text{[math]}$ 平移后，所得函数的解析式为 y= $\text{[math]}$ sin[2（x-a）- $\text{[math]}$ ）+b-1，根据所得函数是奇函数，故有-2a- $\text{[math]}$ =kπ，k∈z，且b-1=0．当| $\text{[math]}$ |最小时，
a= $\text{[math]}$ ，b=1，由此可得 $\text{[math]}$ 的坐标．
点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性、周期性、定义域和值域，以及二倍角公式的应用，属于中档题．