Question

设函数f（x）=a•b，其中向量a=（2cosx，1），b=（cosx，-

3

sin2x），x∈R．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）若x∈[-

π

4

，0]，求函数f（x）的值域；
（3）若函数y=f（x）的图象按向量c=（m，n）（|m|＜

π

2

）平移后得到函数y=2sin2x的图象，求实数m、n的值．

Answer 1

分析：（1）先根据向量的数量积，然后利用两角和与差的正弦函数公式得到f（x），然后找出正弦函数的单调减区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，解出x的范围即可得到f（x）的单调减区间；
（2）由x的范围求出2x+

5π

6

的范围，利用正弦函数的图象得到f（x）的值域；
（3）函数按向量c=（m，n）（|m|＜

π

2

）平移后函数的解析式设为y=f（x-m）+n=2sin（2x-2m-

5π

6

）+1+n．对应项相等得到m与n的值．

解答：解：（1）因为f（x）=2cos²x-

3

sin2x=-

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

5π

6

）+1．
令2kπ+

π

2

≤2x+

5π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z．
因此，函数f（x）的单调减区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．

（2）当x∈[-

π

4

，0]时，2x+

5π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

5π

6

）∈[

1

2

，1]，因此，函数f（x）的值域为[2，3]．

（3）函数y=f（x）的图象按向量c=（m，n）（|m|＜

π

2

）
平移后得到的图象对应的函数是y=f（x-m）+n=2sin（2x-2m-

5π

6

）+1+n．
令-2m+

5π

6

=2kπ，k∈Z，1+n=0，得m=-kπ+

5π

12

，n=-1．又|m|＜

π

2

，故m=

5π

12

．

点评：考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式进行化简求值，会进行平面向量的数量积运算，会求符合函数的单调区间．考查学生熟悉正弦函数的图象与性质．