Question

设F₁，F₂分别为椭圆的左、右两个焦点，若椭圆C上的点两点的距离之和等于4．
（1）求出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过点P（0，）的直线与椭圆交于两点M、N，若OM⊥ON，求直线MN的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，可求a，利用点在椭圆上，可求b，从而求出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设直线MN方程为y=kx+，代入椭圆C的方程，利用韦达定理即向量知识，建立方程，即可求得直线MN的方程．
解答：解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，
由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，
又点在椭圆上，∴，∴b²=3，∴c²=1，
所以椭圆C的方程为．…（6分）
（2）直线MN不与x轴垂直，设直线MN方程为y=kx+，
代入椭圆C的方程得（3+4k²）x²+12kx-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁x₂=-，且△＞0成立．
又=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（ kx₁+）（kx₂+）=--+=0，
∴16k²=5，k=±，
∴MN方程为y=±x+…（14分）
点评：本题考查解析几何的基本思想方法，要求学生能正确分析问题，寻找较好的解题方向，同时兼顾考查算理和逻辑的能力，数形结合能力．