Question

已知函数f（x）的图象经过点（1，λ），且对任意x∈R，都有f（x+1）=f（x）+2．数列{a_n}满足a1=λ-2，an+1=

2n，n为奇数 f(an)，n为偶数

．
（1）当x为正整数时，求f（n）的表达式；
（2）设λ=3，求a₁+a₂+a₃+…+a_2n；
（3）若对任意n∈N^*，总有a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当x为正整数时，f（n）可以看成一个数列，利用题中条件求出数列的递推关系式即可求出f（n）的表达式；
（2）先利用条件求出分段数列{a_n}的表达式，再对a₁+a₂+a₃+…+a_2n进行分组求和即可求出a₁+a₂+a₃+…+a_2n；
（3）先分n为奇数和偶数两种情况对不等式两边进行整理，发现n为奇数时，不等式恒成立；n为偶数时，转化为关于实数λ的不等式恒成立即可求实数λ的取值范围．

解答：解：（1）记b_n=f（n），由f（x+1）=f（x）+2有b_n+1-b_n=2对任意n∈N^*都成立，
又b₁=f（1）=λ，所以数列b_n为首项为λ公差为2的等差数列，（2分）
故b_n=2n+λ-2，即f（n）=2n+λ-2．（4分）

（2）由题设λ=3
若n为偶数，则a_n=2^n-1；（5分）
若n为奇数且n≥3，则a_n=f（a_n-1）=2a_n-1+λ-2=2•2^n-2+λ-2=2^n-1+λ-2=2^n-1+1（6分）
又a₁=λ-2=1，
即an=

1n=1 2n-1+1n为奇数且n≥3 2n-1n为偶数

a₁+a₂+a₃++a_2n=（a₁+a₃++a_2n-1）+（a₂+a₄++a_2n）=（2⁰+2²++2^2n-2+n-1）+（2¹+2³++2^2n-1）
=（1+2¹+2²++2^2n-1）+n-1=2²ⁿ+n-2．（9分）

（3）当n为奇数且n≥3时，a_n+1a_n+2-a_na_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n）=2ⁿ[2ⁿ⁺¹+λ-2-（2^n-1+λ-2）]=3•2^2n-1＞0；（10分）
当n为偶数时，a_n+1a_n+2-a_na_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n）=（2ⁿ+λ-2）（2ⁿ⁺¹-2^n-1）]=3•2^n-1（2ⁿ+λ-2），（11分）
因为a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，所以2ⁿ+λ-2＞0，（12分）
∵n为偶数，∴n≥2，
∵2ⁿ+λ-2单增∴4+λ-2＞0，即λ＞-2（13分）
故λ的取值范围为（-2，+∞）．（14分）．

点评：本题是对数列和分段函数的综合考查．在我们做分段函数题目时，是分段进行的，同样在做分段数列的题目时，也要分段讨论．