Question

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f（x）=a^x•g（x）（a＞0，a≠0）；②g（x）≠0；③f（x）•g′（x）＞f′（x）•g（x）．若

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，则使log_ax＞1成立的x的取值范围是（　　）

• A、（0，

  1

  2

  ）∪（2，+∞）
• B、（0，

  1

  2

  ）
• C、（-∞，

  1

  2

  ）∪（2，+∞）
• D、（2，+∞）

Answer 1

分析：由条件①②，

f(x)

g(x)

=ax，又（

f(x)

g(x)

）′=

f′(x)•g(x)-f(x)•g′(x)

g 2(x)

，及由③f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x），可得出（

f(x)

g(x)

）′＜0，

f(x)

g(x)

是减函数，由此得a＜1
再有若

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，即可得出a的值．

解答：解：由条件①②，

f(x)

g(x)

=ax，又（

f(x)

g(x)

）′=

f′(x)•g(x)-f(x)•g′(x)

g 2(x)

，由③f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x），f'（x）•g（x）-f（x）•g'（x）＜0
可得出（

f(x)

g(x)

）′＜0，

f(x)

g(x)

是减函数，由此得a＜1
∵

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=a¹+a^-1=

5

2

，解得a=

1

2

或a=2
综上得a=

1

2

∴log

1

2

^x＞1=log 

1

2

1

2

，∴0＜x＜

1

2

故选B

点评：本题考查函数的单调性与导数的关系，求解本题的关键是对①③进行变形，利用导数与单调性的关系得出y=a^x是一个减函数，求出参数a的取值范围来．本题容易因为变形不当而致单调性无法判断，题目无法求解．做题时要注意灵活观察，选择变形的方向．