Question

已知点A（m，2）在曲线C：y²=4x上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，则直线DE过定点

（5，-2）

．

Answer 1

分析：把点A（m，2）代入y²=4x，可得2²=4m，解得m，可得A（1，2）．由题意可知：直线AD，AE的斜率都存在．设直线AD：y-2=k（x-1），则y-2=-

1

k

(x-1)．分别与抛物线方程联立解得点D，E．即可得出直线DE的方程，利用直线系即可得出直线DE过定点．

解答：解：把点A（m，2）代入y²=4x，可得2²=4m，解得m=1，∴A（1，2）．
由题意可知：直线AD，AE的斜率都存在．
设直线AD：y-2=k（x-1），则y-2=-

1

k

(x-1)．
联立

y-2=k(x-1) y2=4x

，解得

x=1 y=2

或

x= (k-2)2 k2 y= 4-2k k

，
∴D(

(k-2)2

k2

，

4-2k

k

)．
同理可得E（（1+2k）²，-（4k+2））．
∴k_DE=

4-2k k +(4k+2)

(k-2)2 k2 -(1+2k)2

=

-k

k2+k-1

．
∴直线DE的方程为：y+（4k+2）=

-k

k2+k-1

(x-(1+2k)2)，
化为（k²-1）（2+y）+k（x+y-3）=0，
令

2+y=0 x+y-3=0

，解得

x=5 y=-2

．
∴直线DE过定点（5-，2）．
故答案为（5，-2）．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题、相互垂直的直线之间的关系、点斜式、直线系过定点问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．