Question

已知函数f(x)=

1

3

mx3-(2+

m

2

)x2+4x+1
（1）若在点（-1，f（-1））处的切线与直线y=-

1

2

x+8垂直，求m的值；
（2）当m≠0时，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）求导数，利用在点（-1，f（-1））处的切线与直线y=-

1

2

x+8垂直，得到f'（-1）=2，然后求解．
（2）求导数，利用导数求函数的递增区间．

解答：解：（1）f'（x）=mx²-（4+m）x+4，因为在点（-1，f（-1））处的切线与直线y=-

1

2

x+8垂直，
所以f'（-1）=2m+8=2，故m=-3---------------------------（4分）
（2）f′(x)=mx2-(4+m)x+4=m(x-

4

m

)(x-1)
①当

4

m

＞1，即0＜m＜4时，单调增区间为(-∞，1)，(

4

m

，+∞)----------------（6分）
②当m=4时，单调增区间为（-∞，+∞）-------------------------------（8分）
③当0＜

4

m

＜1即m＞4时，单调增区间为(-∞，

4

m

)，(1，+∞)----------------（10分）
④当m＜0时，单调增区间(

4

m

，1)-----------------------------------------（12分）

点评：本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，综合性较强．