Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-(a+1)x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在（0，e）内有极小值

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于f（x）在（2，+∞）上单调递增，可得f′(x)=

x2-(a+1)x+a

x

≥0在（2，+∞）恒成立，即x²-（a+1）x+a≥0在（2，+∞）恒成立，通过分离参数即可得出；
（II）f（x）定义域为（0，+∞），f′(x)=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-a)(x-1)

x

．通过对a与1的大小关系分类讨论，研究函数是否在（0，e）内有极小值

1

2

，即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）在（2，+∞）上单调递增，∴f′(x)=

x2-(a+1)x+a

x

≥0在（2，+∞）恒成立，
即x²-（a+1）x+a≥0在（2，+∞）恒成立，即（1-x）a+x²-x≥0在（2，+∞）恒成立，
即（1-x）a≥x-x²在（2，+∞）恒成立，即a≤x在（2，+∞）恒成立，
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．
（Ⅱ）f（x）定义域为（0，+∞），f′(x)=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-a)(x-1)

x

，
①当a＞1时，令f'（x）＞0，结合f（x）定义域解得0＜x＜1或x＞a，
∴f（x）在（0，1）和（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减，
此时f(x)极小值=f(a)=-

1

2

a2-a+alna，
若f（x）在（0，e）内有极小值

1

2

，则1＜a＜e，但此时-

1

2

a2-a+alna＜0＜

1

2

矛盾．
②当a=1时，此时f'（x）恒大于等于0，不可能有极小值．
③当a＜1时，不论a是否大于0，f（x）的极小值只能是f(1)=-

1

2

-a，
令-

1

2

-a=

1

2

，即a=-1，满足a＜1．
综上所述，a=-1．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分离参数法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本方法，属于难题．