Question

设数列{a_n}的首项a₁=a≠

1

4

，且an+1=

1 2 an (n为偶数) an+ 1 4 (n为奇数)

，记bn=a2n-1-

1

4

，n=l，2，3，…．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）数列{b_n}是否为等比数列，如果是，求出其通项公式；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知条件直接求出求a₂，a₃；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）求出a₄，a₅，通过bn=a2n-1-

1

4

，求出b₁，b₂，b₃，猜想数列{b_n}是等比数列，通过递推关系式证明
b_n+1=

1

2

b_n，即可求出通项公式．

解答：解：（Ⅰ）因为数列{a_n}的首项a₁=a≠

1

4

，且an+1=

1 2 an (n为偶数) an+ 1 4 (n为奇数)

，
所以，a₂=a₁+

1

4

=a+

1

4

，a₃=

1

2

a₂=

1

2

a+

1

8

．
（Ⅱ）数列{a_n}的首项a₁=a≠

1

4

，且an+1=

1 2 an (n为偶数) an+ 1 4 (n为奇数)

，a₃=

1

2

a+

1

8

．
∴a₄=a₃+

1

4

=

1

2

a+

3

8

，
∴a₅=

1

2

a₄=

1

4

a+

3

16

，
所以b₁=a₁-

1

4

=a-

1

4

，b₂=a₃-

1

4

=

1

2

(a-

1

4

)，b₃=a₅-

1

4

=

1

4

(a-

1

4

)，
猜想：{b_n}是公比为

1

2

的等比数列．
证明如下：
因为b_n+1=a_2n+1-

1

4

=

1

2

a_2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1+

1

4

)-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)=

1

2

b_n，
所以{b_n}是首项为a-

1

4

，公比为

1

2

的等比数列．
故bn=(a-

1

4

)•(

1

2

)n-1．

点评：本题考查数列的递推关系式求解数列的特定项，数列是等比数列的证明，以及通项公式的求法，考查计算能力．