Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2-bx+1，（x∈R，a，b为实数）
（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的零点，求证：函数f（x）不是单调函数；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值．

Answer 1

分析：（I）根据x=1是函数f（x）的零点将b用a表示，然后研究函数的导数，求出f′（x）=0的根，然后判定函数的单调性即可；
（II）将函数f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数转化成函数在[-1，2]上有f′（x）≤0恒成立，建立a、b的不等关系，然后利用a+b=

5

6

（2a+b）+

1

6

（b-4a）可求出所求．

解答：解：（I）∵f（1）=

1

3

+a-b+1=0
∴b=a+

4

3

∴f(x)=

1

3

x3+ax2-(a+

4

3

)x+1
∴f′(x)=x2+2ax -(a+

4

3

)
△=4a²+4（a+

4

3

）=4(a+

1

2

)2+

13

3

＞0
∴f′（x）=0必有两个不同的实根x1=-a+

a2+a+ 4 3

，x2=-a-

a2+a+ 4 3

，
当x∈（-∞，x₁），f′（x）＞0，
x∈（x₁，x₂），f′（x）＜0，
x∈（x₂，+∞），f′（x）＞0，
故f（x）存在两个极值点即f（x）不是单调函数．
（II）∵函数f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数
∴函数在[-1，2]上有f′（x）≤0恒成立

f′(-1)≤0 f′(2)≤0

即

2a+b≥1 b-4a≥4

∵a+b=

5

6

（2a+b）+

1

6

（b-4a）≥

5

6

+

1

6

×4=

3

2

∴a+b最小值为

3

2

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及不等式的应用，同时考查了转化的数学思想和计算能力，属于中档题．