Question

已知已知函数f(x)=

x

2x+1

，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an

}是等差数列；
（Ⅱ）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，试比较2S_n与1的大小．

Answer 1

分析：本题考查了函数和数列的关系、等差数列的证明、数列的求和等知识点．
（Ⅰ）根据所给函数f(x)=

x

2x+1

及数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）即可获得{a_n}的递推关系，然后通过推出

1

an+1

-

1

an

=2得到证明．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的基础上易得a_na_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

，由此不难想到“裂项法”求和．

解答：解：（Ⅰ）由已知得，an+1=

an

2an+1

，
∴

1

an+1

=

1

an

+2，即

1

an+1

-

1

an

=2．
∴数列{

1

an

}是首项，公差d=2的等差数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

an

=1+(n-1)×2=2n-1，
∴an=

1

2n-1

(n∈N*)，（8分）
∴anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，（10分）
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃++a_na_n+1=

1

1×3

+

1

3×5

++

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．（14分）
∴2Sn-1=

2n

2n+1

-1=

-1

2n+1

＜0（n∈N^*），∴2S_n＜1．（16分）

点评：本题综合性较强，涉及了多个知识点的融合，揭示了函数和数列的内在联系，并且在构造数列，证明等差数列，裂项求和等方面设计了很好的情景，是一个培养逻辑推理能力和思维能力的好题，而且也代表了目前高考试题的方向．